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Sep 15

Thalès, tutoriel du théorème sur GeoGebra

on va se refaire (tranquillement !) le théorème de Thalès avec GeoGebra. Pour rappel, il est étudié en classe de 3e. Cet article n’a pas pour vocation de présenter le théorème en tant que tel, mais plutôt présenter le logiciel aux accompagnants (bénévoles ou non) qui veulent faire des exercices à leurs élèves, ou pourquoi pas des professeurs, etc. Il s’agit donc d’un tutoriel sur GeoGebra plus qu’autre chose.

Le théorème de Thalès

Si vous avez l’occasion de faire un rappel historique, ne vous gênez pas, c’est très intéressant.

Théorème de Thalès : Soit un triangle ABC, et deux points D et E des droites (AB) et (AC) de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC).

Alors on a : AD/AB = AE/AC et AD/AB = DE/BC

GeoGebra

Commencez par afficher les noms de tous les éléments que nous allons créer, cela va nous être très utile ! Cliquez sur Affichage → Algèbre.

Donc c’est parti, on y va. On commence par utiliser l’outil Nouveau point (deuxième bouton) pour placer trois points : A, B et C.

Avec l’outil pointeur, on peut replacer les points si besoin, puis on utilisera l’outil Polygone pour faire un triangle à partir de ces 3 points. Vous constaterez que la souris à tendance à “s’aimanter” sur les points pour faciliter le dessin.

Remarque : en dessinant le polygone directement les points se seraient fait tous seuls, mais bon, prenez de bons réflexes d’emblée.

On utilise ensuite l’outil droite passant par deux points pour créer une droite passant par A et B et une autre passant par A et C.

Thalès

Il va falloir maintenant être un peu subtile car nous allons chercher à créer deux points D et E, dont une droite passant par eux deux soit parallèle à [AC].

Ajoutez un point D sur la droite (d).

À tout hasard, faites un clique droit sur le point D pour vérifier qu’il soit bien “point sur la droite d” et non pas point sur le segment [AB] (qui devrait s’appeler b ou c, en minuscule). Rappelez-vous que la fenêtre “Algèbre” que nous avons affiché au tout début devrait vous aider à mieux identifier les noms des objets.

Si le point est considéré comme étant sur la droite, tout va bien, sinon faites un clic droit dessus et choisissez “propriétés” et dans l’onglet “basique”, au niveau du champs “définition” remplacez Point[x] par Point[d].

Pour faire [DE], on a besoin d’une droite parallèle. Elle va nous servir de guide et on pourra la cacher par la suite. On va donc s’aider de l’outil Parallèle pour créer une droite (f) (chez moi elle s’appelle f) parallèle à [BC] qui va nous aider à placer les points. Cliquez successivement sur l’outil Parallèle, puis sur le segment [BC] et enfin sur le point D.

[notice]Astuce : Pour que le théorème se vérifie, il est impératif que [DE] soit parallèle, à [BC], et, donc, que “D bouge en même temps que E” lorsqu’on le déplace sur [AB]. Dans le cas contraire, on peut totalement fausser notre exercice. Pour “protéger” ainsi la figure, nous ne devons faire que l’un des points (prenons E) soit un point d’intersection. [/notice]

Choisissez donc Points d’intersections dans l’outil Placer point et placez enfin E.

Essayez de déplacer D, normalement E doit suivre tout seul. Sinon, il faut refaire les étapes précédentes. 😉

On va maintenant créer un deuxième triangle ADE avec l’outil Polygone.

Il est temps de rendre invisible (f) : (on voulait seulement placer D et E…), regardez dans la fenêtre Algèbre les petites pastilles vertes devant chaque objets, se sont en fait des booléens qui permettent d’afficher ou de masquer l’objet. Mais avant de vous en servir, faites un clic droit sur (f) et allez dans propriétés. On va déterminer la droite (f) comme “objet auxiliaire” (onglet “basique”), elle sera ainsi masquée de la fenêtre “Algèbre” mais existera toujours. Dans les propriétés, on retrouve à nouveau ces petites pastilles vertes, profitez-en pour masquer (f) de la figure.

[notice]Astuce : Ne supprimez surtout pas la droite (f). E bouge avec D parce que quand on bouge D sur (d), le segment [DE] bouge logiquement avec, donc E bouge avec, et E est intersection de (e) et (f). Sans (f), E n’a plus de raison d’être, et D se désolidarise.[/notice]

J’insiste lourdement mais si [DE] n’est plus parallèle, les résultats continueront à s’afficher sans message d’erreur particulier, ce qui peut embrouiller l’apprenant. Soyez vigilant.

Voilà, on a les éléments de bases de notre théorème, maintenant on va embellir un peu notre triangle.

Un peu d’esthétique

Allez dans Édition → Propriétés (ou clic droit → Propriétés sur n’importe quel élément).

Comme c’est plus ou moins esthétique, je vous laisse vous débrouiller, mais je vous dit toutefois comment j’ai fait. Je commence par modifier les deux droites, avec une apparence gris clair et le trait le plus fin possible. (elles ne sont pas importantes), les polygones dans deux couleurs différentes et les points en rouge vif bien tapant, ou orange pour D. Je laisse E en noir volontairement pour montrer qu’il n’est pas déplaçable.

Les segments formant les triangles devraient changer de couleur tous seuls.

Vous aurez sans doute remarqué que les segments ont des noms désolidarisés de leurs points. Par soucis de compréhension, je propose de changer “c” par “AB” (sans les guillemets), et ainsi de suite. Notez que les parenthèses, pour les droites, ou les crochets, pour les segments, ne fonctionneront pas, ils ont une autre valeur pour le logiciel.

J’ai également renommé “poly1” en “triangleABC” (les espaces ne passent pas non plus). Mais tout ceci est optionnel, c’est juste pour vous y retrouver.

Passons aux données

Allez dans Affichage → Tableur

On va entrer les trois données du théorème dans trois cellules du tableau, soit dans A1 “=AD/AB” (sans les guillemets), dans A2 “=AE/AC” et dans A3 “=DE/BC”.

Thalès

Les cellules du tableur deviennent des objets “nombre” appelés respectivement A1, A2… Même si nous ne nous en serviront pas pour ce tutoriel, cette fonctionnalité démultiplie considérablement les possibilités du logiciel.

Grâce au tableur, nous pouvons ainsi afficher facilement les valeurs de AD/AB, AE/AC et DE/BC directement dans le graphique (voir figure 2).

Remarque : Au niveau de l’outil Pointeur, en déroulant les options vous avez le pointeur “enregistrer dans le tableur”. En l’occurrence il ne nous est pas très utile puisqu’on fait des opérations, mais en général il est très pratique.

Afficher les résultats

Dans insérer champ de texte, on peut simplement écrire AD/AB= puis “insérer objet” et choisir (en l’occurrence) « A1 » et refaire de même pour les trois données (voir figure 3).

Tableur

La partie tableur est optionnelle et n’apparaîtra pas dans la version finale. Elle permet de vérifier que le théorème de Thalès est vrai à tout moment, quelque soit les manipulations opérées sur la figure. C’est un peu le “debug mode”

Premières conclusions

Si la valeur de [AD]/[AB] vaut [AE]/[AC] et [DE]/[BC], on peut en conclure que [DE] est parallèle à [BC]. C’est la réciproque du théorème de Thalès.

Deux conclusions s’offrent à nous : Premièrement, nous venons de faire le théorème de Thalès (de tête, voir paragraphe précédent), secondement, nous ne sommes pas allés jusqu’au bout de notre idée initiale, puisque nous aimerions plutôt faire faire le théorème… Alors c’est parti, on y retourne !

Faire un exercice

Pour rappel, le théorème de Thalès a deux fonctions tel qu’il est enseigné en classe de troisième. Soit mesurer un triangle, soit démontrer que deux droites sont parallèles (avec sa réciproque).

Pour mesurer un triangle on donne la valeur de trois segments (par exemple [AC], [AD] et [DB]) et on demande à l’élève de chercher la valeur du dernier segment ([AE], donc).

Commencez par créer le segment [DB] qui n’existe pas “informatiquement parlant”

Pour se faire,on utilise l’outil Insérer texte et on écrit AC= puis objet → AC (ou le nom de l’objet qui équivaut à votre [AC] si vous avez donné un nom différent, voir capture d’écran). On réitère pour [AD] et [DB].

Pour être sûr qu’on s’y retrouve, voici mon énoncé :

geogebra-thales-4

Oui, je sais, j’ai oublié les crochets….

Et je vous propose maintenant de rédiger la solution :

Rédaction de la solution de l'exercice

Vous n’êtes pas obligé de rédiger en LaTeX comme moi, surtout tant que les formules sont simples. Si vous le faites, n’oubliez pas de cocher la case “Formule LaTeX”. Inutile de les connaître par cœur, elles sont proposées en liste déroulante !

 Quelques ajouts

Je recommande vivement de modifier le nom des objets “texte” et de les appeler n’importe comment pourvu que vous vous y retrouviez. Pour le moment, ils s’appellent logiquement “Texte1”, “Texte2”, “Texte3”, etc.

Cliquez sur l’outil Boîte de sélection pour afficher une option Afficher/Masquer. Appelons-là “Afficher solution” et ajouter dans la liste déroulante

Dans les Propriétés, on peut afficher dans la figure les valeurs des segments connus.

Clique droit sur [AC] → Propriétés → Étiquette “Nom & Valeur”, idem pour [AD] et [DB].

Pour finir, sur les objets texte, vous pouvez choisir les options “Objet fixe” et “Position absolue sur l’écran” pour verrouiller respectivement l’objet et/ou sa position.

Voir le tutoriel

Le tutoriel est disponible sur GeoGebraTube ici :  Théorème de Thalès.

N’hésitez pas à mettre un pouce vert si vous avez aimé, voir même à commenter. Vous pouvez télécharger le fichier, puis aller dans Affichage → Protocole de construction pour voir comment j’ai procédé pour réaliser ce fichier (pour mon fichier comme pour tout ceux du GeoGebraTube d’ailleurs…)

Lien Permanent pour cet article : http://libre.centres-sociaux.fr/thales-tutoriel-du-theoreme-sur-geogebra/

Lien

edululu.org

Le site Edululu, baptisé « votre guide des applications éducatives » vise à aider les professionnels de l’éducation (ou les parents) à sélectionner des applications avec des critères pédagogiques

Lien Permanent pour cet article : http://libre.centres-sociaux.fr/edululu/

Sep 01

GeoGebra

GeoGebra est un logiciel de géométrie dynamique (en 2D). Il est conçu et maintenu à jour par une équipe éducative et une communauté internationale. On retrouve ce logiciel sur les différents supports informatiques, y compris tactiles.

Télécharger GeoGebra

Concrètement, GeoGebra convient aux élèves dès le cycle 2 (classe de primaire) et pour tout le secondaire. Il est très simple à prendre en main et permet de faire de la géométrie plane et des fonctions.

Voici ci-dessous quelques exemples très simples de manipulations du logiciel.

Créer une forme simple avec GeoGebra

Pour créer par exemple une droite passant par deux points, il suffit d’appuyer sur le bouton correspondant dans la barre d’outil. On cliquera successivement pour placer le point A, puis le point B.

Si la fenêtre “Algèbre” n’existe pas à gauche (ou flottante), allez dans affichage -> Algèbre.

Ici, on pourra modifier la valeur de A et de B, ainsi que leur nom (C, A’, ce que vous voulez)…

Utiliser les fonctions avec GeoGebra

La zone “Saisie” tout en bas de la fenêtre permet de rentrer directement des équations.

Écrivez par exemple f(x)=x^2+x

Le logiciel créera automatiquement un objet avec l’équation du second degré.

J’en profite pour préciser que le circonflexe permet de créer des exposants (x^4 donne x4) et que le « tiret du 8 » permet de créer des indices (x_4 donne x4).

Les fonctions avec GeoGebra

Les fonctions avec GeoGebra

Créer un exercice avec GeoGebra

Afin de vous familiariser avec GeoGebra, je vous propose un tutoriel pour réaliser un exercice le théorème de Thalès, niveau 3e.

Le GeoGebraTube

Le site de GeoGebra propose de nombreuses ressources très utiles ! À commencer par son wiki (l’aide du logiciel renvoie vers le wiki à chaque fois) mais aussi sa base de données d’exercices partagés.

Voici par exemple le fameux théorème de Thalès que je vous propose de réaliser ci-dessus, et que j’ai rendu également disponible en téléchargement sur le site officiel.

Pour chaque exercice, il existe une version apprenant exécutable directement en ligne,  sinon la possibilité de le télécharger dans différents formats.

Équivalents

Dans la suite KDEédu, deux logiciels similaires sont proposés : Kmplot, un éditeur de fonctions, et Kig, pour la géométrie plane. Je recommande tout de même GeoGebra, qui peut faire les deux à la fois, qui est plus facile à prendre en main, et qui existe sur toutes les plateformes.

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